Enviado: 11 de Julio de 2009, 12:14
Muchas veces me sorprendo escuchando o leyendo cosas como éstas:
a) Científicos de la Universidad de Nagoya descubrieron que las personas que se lavan los pies los días pares del mes viven más años.
b) Un experimento en un Instituto de Alaska comprobó que si uno deja la televisión encendida mientras duerme, obtiene trabajo más rápido.
Ciertamente, buscar relaciones o patrones es estimulante y, además, forma parte de la lógica cotidiana de cualquier científico. Pero también saltar a conclusiones apresuradamente conlleva un peligro. Lo que sigue es una historia que enseña algo muy simple pero profundo a la vez.
Ariel Arbiser, profesor de Exactas de la UBA y generoso colaborador con mi tarea de comunicador científico, me contó la historia que sigue y, si bien es muy sencilla en apariencia, enseña algo profundo al mismo tiempo.
En realidad, el texto apareció en el libro Problemas y Experimentos Recreativos del autor ruso Yaaco Perelman y exhibe con claridad el peligro de usar la teoría de probabilidades en forma descuidada.
“Un profesor de matemática, con pocos años de experiencia, está enseñando a sus alumnos conceptos elementales de probabilidades. Desde el aula se podía ver a los peatones que pasaban por la calle.
La calle era una avenida muy transitada y, naturalmente, pasaban caminando diariamente hombres y mujeres. El profesor se molestaba porque los alumnos se distraían mirando por la ventana. Entonces, decide plantear un problema y pregunta a la clase:
–¿Cuál es la probabilidad de que el próximo peatón que pase sea un hombre?”.
El profesor continúa: “Lo que quiero decirles es que si hiciéramos este experimento muchas veces, ¿cuántas veces uno esperaría que pasase un hombre y cuántas que pase una mujer?”.
Por supuesto, debe entenderse que uno apunta al caso general y la respuesta, se presume, aproximada. Si hace falta la aclaración, supondremos que pueden pasar mujeres y hombres por igual. Es decir, la probabilidad de que pase un hombre o una mujer es la misma.
La respuesta, entonces, es obvia: la mitad de las veces uno espera que pase un hombre. Es decir, la probabilidad (que es siempre un número que está entre 0 y 1) es ½ .
Los alumnos asienten satisfechos, porque comprenden perfectamente.
El profesor sigue: “¿Y si quisiera calcular la probabilidad de que los próximos dos transeúntes sean hombres?”.
Deja a los estudiantes pensando un ratito y luego dice: “Como ya sabemos, la probabilidad de que un evento se produzca se calcula dividiendo los casos favorables sobre los casos posibles”.
En este escenario, los casos posibles son:
Hombre-Hombre (H-H para abreviar)
Hombre-Mujer (H-M)
Mujer-Hombre (M-H)
Mujer-Mujer (M-M).
Por otro lado, el único caso favorable es: H-H
Luego, la probabilidad de que pasen dos hombres es (1/4) (un caso favorable sobre cuatro posibles). Es decir, el 25 por ciento de las veces. En consecuencia, la probabilidad de que no sea así, es decir, de que no sean dos hombres, es de (3/4), un 75 por ciento.
Luego de un rato, el profesor sigue: “¿Y cuál es la probabilidad de que los próximos tres transeúntes que pasen sean hombres?”.
Si uno vuelve a considerar todos los casos posibles, estos son ocho:
H-H-H
H-H-M
H-M-H
H-M-M
M-H-H
M-H-M
M-M-H
M-M-M
Como se ve, importa el orden de aparición. Es decir, el orden en el que van apareciendo los transeúntes. Luego, volviendo a la pregunta anterior, como hay ocho casos posibles y sólo uno favorable (H-H-H), la probabilidad ahora es: 1/8. Es decir, la probabilidad de que los próximos tres peatones que pasen por acá sean los tres hombres es 1/8 = 0.125 (o sea, el 12.5 por ciento de las veces).
Un alumno que disfrutaba de las apuestas le dice al profesor: “Ya que Ud. viene en bicicleta al colegio, ¿la apostaría a que ninguno de los tres próximos peatones va a ser una mujer?”.
El profesor, a quien a diferencia del alumno no le gustaba apostar, le contesta: “No, no querría perder mi bicicleta. Por otro lado, lo que yo digo es que la probabilidad de que no pase ninguna mujer entre los tres próximos peatones es (1/8), pero no hay seguridades”.
El alumno insiste: “Mmmmm, si acepta la apuesta, tiene sólo 1/8 de probabilidad de perder y 7/8 de ganar. No está mal, ¿no?”.
El profesor dice: “Aún así, no quiero”. El alumno va por más: “Bueno, suponga que pregunto cuál es la probabilidad de que los próximos 20 peatones sean todos hombres (es decir, ni una mujer)”. El profesor responde de inmediato:
–Como antes, será de (1/2) elevado a la 20, o sea (1/2)20 , lo que es lo mismo que multiplicar el número (1/2) veinte veces por sí mismo. Es decir, como
(1/2)20 = 1/1048576 = 0.00000095,
entonces, la probabilidad de que no pase ninguna mujer entre los próximos veinte peatones es muy muy baja y, por lo tanto, la probabilidad de ganar es, a su vez, muy alta. En este caso, hablamos de 99.9999 por ciento de posibilidades de ganar. O sea, el profesor tiene una posibilidad en ¡un millón! de perder.
Realmente, casi cualquiera debería aceptar, porque si bien no es imposible perder, es muy muy improbable.
“Y del mismo modo –sigue el profesor–, la probabilidad de que los próximos 100 peatones sean todos hombres es de (1/2) elevado a la 100. O sea:
(1/2)10O= 1/1267650600228229401496703205376,
que es un número espantosamente pequeño. Le da a Ud. una virtual certeza de ganar. Es más: el número que aparece en el denominador (más de un quintillón) es mucho mayor que el número de partículas de todo el universo, de acuerdo con la física moderna.” La verdad, está como para apostar.
El profesor, que quería darle una lección al alumno, finalmente dice:
–Bueno, en estas circunstancias acepto. Para mostrarle a Ud. que confío en lo que digo. Apuesto mi bicicleta a que entre los próximos 100 peatones habrá al menos una mujer. Será simplemente cuestión de ir hacia la ventana, mirar y contar, hasta que aparezca la primera mujer.
Pero a todo esto se oye que de la calle proviene música, algo parecido a una marcha. El profesor se pone pálido. Se acerca a la ventana, y dice:
–Perdí. ¡Adiós bicicleta!
Por la calle venía pasando un desfile militar.
Moraleja: En la práctica, las probabilidades se usan cuando, por ejemplo, no contamos con información certera. Pero a veces calcularlas no es tan simple. Las probabilidades pueden ser subjetivas u objetivas, y en la vida real a veces se estiman mal. Más allá de que el alumno nunca dijo qué ganaba el profesor si aparecía una mujer entre los siguientes 100 peatones, lo que también queda claro es que cuando uno dice que las chances de que pasen un hombre o una mujer son iguales, tiene que tener cuidado. Es por eso que, muchas veces, las conclusiones a las que estamos decididos a saltar, son, cuanto menos arriesgadas.
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